Решения на задачите от писмения конкурсен изпит по математика за прием в профилирани гимназии, профилирани паралелки на СОУ и професионални гимназии след 7 клас - 25 юни 2002 година

а) Да се реши уравнението

и неравенството

б) Един работник може да извърши определена работа за 8 h, а друг работник - за 5 h 20 min. Отначало първият работник работил сам 3 h, а след това се включил и вторият. Да се намери в колко часа е била свършена 75% от работата, ако първият работник е започнал да работи 9 h 20 min и двамата са направили почивка от 13 h до 13 h 30 min.

Задача 2. Даден е правоъгълник АВСD, в който АВ > AD. На страните АВ,ВС и СD са взети съответно точките М, Р и N такива, че МВ = СР = ND.
а) Да се докаже, че четириъгълникът AMCN е успоредник и да се намерят ъглите му, ако МС = 2 МВ.
б) Ако ВС = АМ, да се намери РАN и да се докаже, че NMC > 45°.

. . . . . . . . . .

У К А З А Н И Е
за оценяване на писмените работи от конкурсния изпит по математика за прием в профилирани гимназии, профилирани паралелки на СОУ и професионални гимназии след 7. клас - 25 юни 2002 година

Крайната оценка на всяка писмена работа се определя по формулата:
Оц= 2 + 0,25 к, където к е броят на получените точки.

Разпределение на точките:

Задача 1.

а)

- преобразуване на израза - 0,50
- преобразуване на израза -0,50
- преобразуване на израза - 0,50
- извършване на тъждествени преобразувания - 0,25
- намиране решението на уравнението - 0,25
- преобразуване на израза - 0,50
- намиране на НОК и освобождаване от знаменател - 0,75
- извършване на тъждествени преобразувания - 0,50
- намиране решението на неравенството - 0,25

б)

- определяне производителността на първия работник - 0,25
- определяне производителността на втория работник - 0,25
- определяне извършената работата от първия работник - 0,25
- определяне извършената работата от втория работник - 0,25
- съставяне на математическия модел - 1,25
- решаване на уравнението- 0,50
намиране времето, през което са работили заедно - 0,50
намиране на крайния час, в който е свършената работа - 0,75

Задача 2.

а)

- доказване, че AM || NC - 0,75
- доказване, че AM = NC - 1,00
- извод, че АМСN е успоредник- 0,50
- намиране MCB= 30° - 0,75
- намиране ъглите на успоредника - 1,00

б).

- доказване, че MВС РCN - 0,50
- извод, че РN = МС - 0,25
- извод, че РN = AN (РN =CM=AN), DANP равнобедрен - 0,50
- доказване, че ANP = 90°, DANP равнобедрен правоъгълен - 0,75
- намиране на PAN = 45° - 0,25
- доказване, че PQC = 90° (MC PN =Q) - 0,25
- доказване, че QP < QC - 0,75
- доказване, че в правоъгълния МQN MQ < QN - 0,50
- извод , че NМС >45° - 0,25

Кратки решения на задачите

Задача 1.

а)

б) Производителността на работниците са съответно - и .
Означаваме свремето, за което работниците са работили заедно.
Тогава първият работник е работил , а вторият-
Извършената работа от работниците е съответно - и

Свършената работа е 75% от цялата работата, тагава получаваме уравнението + , , , .

Двамата работника са работили заедно или 1 и 12 min.
Тогава за времето на първия работник получаваме- 9 20 min 3 +1 12 min + 30 min (почивка) = 14 2 min. Следователно 75% от работата работниците са свършили в 14 2 min.

Задача 2. а) AM || CN (AB||CD) и AM = CN ( AB - MB =CD - ND, MB =ND) AMCN
успоредник. От МС = 2 МВ следва, че MCB = 30° и BMC = 60°. Тогава AMC =120° и MCN = 60°.Ълите на успоредника са 60°,120°, 60° и120°.